Matemáticas de 1º y 2º de ESO

La ecuación no sabe que hablamos de cajas de zapatos

2012-01-09T20:26:00.007+01:00

Esta estrada no es que esté dedicada a Claudia Lacarra, alumna de 2º ESO C, sino que es de ella para el mundo ...

Hemos resuelto en clase un problema del libro que decía:

El volumen de una caja con forma de ortoedro es de 1500 centímetros cúbicos. El largo de la base es 5 centímetros mayor que el ancho. La profundidad de la caja mide 5 centímetros. Calcula las dimensiones de la caja.

Sabemos que la profundidad es: 5 cm.
Si llamamos W al ancho de la caja, el largo será´: W+5
Por consiguiente, tenemos que:

\begin{array}{l} 5 \cdot W \cdot (W + 5) = 1500 \\ W \cdot (W + 5) = 300 \\ W^{2} + 5 W = 300 \\ W^{2} + 5 W - 300 = 0 \\ W = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 300)}}{2 \cdot 1} = {\begin{matrix} W = - 20 \\ W = 15 \end{matrix} \end{array}

Como es natural, la solución W = -20 no sirve porque una caja no puede tener de ancho un número negativo, por tanto, la única solución a mi ejercicio es:

Profundidad es: 5 cm.
Ancho W = 15 cm.
Largo W + 5 = 15 + 5 = 20 cm.
Con ello, tal y como nos pedía el ejercicio:

Volumen = 5cm · 15 cm · 20 cm = 1500 cm3

Pero ahora llega lo interesante. Cuando estábamos explicando varias cosas sobre el resultado, y les he planteado la pregunta del millón:

¿Por qué la ecuación nos da un resultado que no es solución de nuestro problema?

Claudia no me ha dejado responder porque ha levantado la mano con los ojos como platos indicando sin atisbo de duda que lo entendía perfectamente, y lo ha explicado así:

"Porque la ecuación no sabe que hablamos de una caja. Si el problema hubiera sido de otra cosa, tal vez si hubiera servido el número negativo, pero siendo las medidas de una caja, no pueden ser negativas"

Encuadrad la repuesta en un marco. Yo no hubiese sabido explicarlo mejor pero desde hoy lo haré así en cada una de mis clases. Hoy he aprendido a explicar algo como no sabía: "la ecuación no sabe de qué estamos hablando, eso lo debemos saber nosotros. Ella sólo nos da los números, nosotros debemos interpretar si nos sirven o no.

Gracias Claudia. Y no se me olvida que te debo otra entrada, que ya tengo medio escrita, sobre una clase magistral que nos diste hace unos meses. Tal vez seas profesora o tal vez no, como va la enseñanza te aconsejo que no, pero si llegas a serlo, serás una magnífica profesora.

Matemáticas interesantes: Los Diez Magníficos

2012-01-09T19:51:00.000+01:00

Reflexionaba el otro día conmigo mismo, que soy el que mejor me entiende a mi mismo, sobre lo siguiente:

Qué maravilloso sería que la gente se planteara el aprender como un juego.

¡NOOO!, no se trata de aprender jugando, sino de JUGAR A APRENDER.

Es fundamental la diferencia.

Jugar a aprender significa que uno considera el aprender como un juego. Que el objetivo es aprender. Que el objetivo debe ser para mi algo interesante. Que el objetivo debe ser algo que yo quiero.

A veces es difícil: Si jugásemos a dar 1000 toques con un balón de fútbol sin que se cayese al suelo ... me costaría un esfuerzo; tal vez no lo consiguiese; me cansaría de intentarlo; volvería a intentarlo; tal vez podría estar jugando casi todos los días de mi vida a ello y no conseguirlo; muchos otros lo harían de manera más rápida y mejor que yo; a otros les costaría más; algunos lo conseguirían y otros no; quizá no fuese el mejor; día a día lo haría mejor; ...

Hoy, para variar, mi alumno de 2º de la ESO Ramiro Ibarzo, me ha traído unos cuantos libros. Dos de ellos de su abuelo (al que, por cierto, le agradezco la cantidad de libros y el interés que despierta en su nieto) y, otros dos que, tal vez, le hayan traído los Reyes Magos.
Uno de ellos hace que un abuelo y su nieto jueguen a aprender, se diviertan aprendiendo, sean capaces de charlar, hablar, contar cosas, investigar, ... y a pesar de ello se esté divirtiendo.

"Cada vez que el abuelo habla de sus 4800 alumnos a lo largo de sus 40 años, el corazón se le hincha de emoción, se pone las gafas y pregunta a quemarropa: "4800 alumnos a lo largo de 40 años:¿cuántos alumnos son en un año?".
Sí, es más fuerte que él: le resulta imposible dejarse de preguntas. El tiempo se detuvo para el abuelo aquel horrible día en que pasó a "situación de jubilado", obligado a dejar la enseñanza "por haber alcanzado el límite de edad establecido". Pero el mundo de la enseñanza se le ha quedado dentro, allí, en el fondo de su corazón, y no es capaz de sentirse otra cosa que profesor"

Los Diez Magníficos. Un niño en el mundo de las matemáticas

Anna Ceralosi

Ed. Maeva

¡Feliz año de crisis! Las matemáticas lo arreglan

2012-01-01T12:50:00.000+01:00

John Allen Paulos, en su libro "PIENSO, LUEGO RÍO" de la Ed. Cátedra, colección teorema, nos plantea un milagro numérico que nos puede ayudar a:

Salir de la crisis de una manera elegante.
Hacer milagros como el de los panes y los peces. Ya he contado en calse alguna forma de hacerlo usando las matemáticas.
Pensar, disfrutar y reír.
No pensar, disfrutar y reír, y seguir diciendo que pensar no sirve para nada. (Recordad la frase de Einstein : "Hay dos cosas infinitas, el universo y la estupidez humana, y de la primera no estoy seguro")

Como en estos días he estado en clase hablando de ecuaciones y, sobretodo, de saber lo que hacemos resolviendo una ecuación, aquí tenéis un ejemplo maravilloso para ver si realmente entendéis lo que hacéis en cada paso que dais con las igualdades para intentar resolver una ecuación:

36 pulgadas = 1 yarda

Luego: 9 pulgadas = 1/4 de yarda

Por tanto:

\sqrt{9 pulgadas} = \sqrt{\frac{1}{4} yarda}

Y entonces: ¿ 3 pulgadas = 1/2 yarda ?

Haz lo mismo con tus deudas y se reducirán de manera obvia.

Aunque, como he comentado en clase alguna vez, en Física, las cosas son mucho más difíciles que en matemáticas porque todas las cantidades llevan apellido, y es fundamental no olvidarlo.

Hago también aquí una observación sobre la importancia de una escritura precisa advirtiendo que, en la soledad de una tarde verano, a la orilla de un tranquilo río, sentado a la sombra de un hermoso chopo, no es lo mismo afirmar:

Pienso, luego río que Pienso luego, río

Como tampoco es lo mismo afirmar:

Yo como, pienso y engordo que Yo como pienso y engordo

Aunque para muchos tal vez si (me remito nuevamente a la frase de Einstein).

Más exámenes

2011-11-28T23:09:00.001+01:00

Nunca son los exámenes lo importante pero siempre acaban siéndolo.
Algún día aprenderemos que, los exámenes, nos permiten aprender.

Operar en matemáticas en los ojos de una alumna

2011-11-14T20:05:00.001+01:00

El viernes pasado "solté una terrible disertación en mi departamento" al hilo de la operatoria de polinomios, de lo esencial en la enseñanza y de lo puramente mecánico y absurdo. De lo que debía ser el objetivo y de lo que realmente hacemos que sea. De que, desde mi punto de vista y parece que no compartido por todos, lo importante no es que se apliquen los algoritmos de manera mecánica sino de que estos sean un simple instrumento para ser capaz de hacer algo entendiendo por qué y para qué.

Hoy explicaba en 2º de ESO-C lo que yo creo que hay que explicar. Hoy les comentaba a mis alumnos que el algoritmo no es la esencia, es decir, que la forma no es la esencia, sino que lo que importa es el fondo y lo hacía con ejemplos como estos:

Lo importante es esto:

(x + 1) \cdot (x + 3) =

No cómo se haga:

\begin{array}{l} (x + 2) \cdot (x + 3) = () \cdot x + () \cdot 3 = \\ (x + 2) \cdot x + (x + 2) \cdot 3 = x \cdot x + 2 \cdot x + 3 \cdot x + 3 \cdot 2 = \\ x^{2} + 5 \cdot x + 6 \end{array}

\begin{array}{l} (x + 2) \cdot (x + 3) = x \cdot () + 2 \cdot () = \\ x \cdot (x + 3) + 2 \cdot (x + 3) = x \cdot x + 3 \cdot x + 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = \\ x^{2} + 5 \cdot x + 6 \end{array}

Cuando hacía cosas como estas me alegraba ver a algunos de los alumnos que abrían los ojos y entendía, no que aprendían. Que muchos de los alumnos jugaban conmigo con la broma de "Brraeee" por, a más b.
Pero, fundamentalmente, me alegraba infinito que algunas alumnas que, por muy diversos motivos, el año pasado no veían nada conmigo como profesor, hoy iban viendo lo que pretendía mostrarles. Había más, pero hoy quiero dedicarles esta entrada del blog precisamente a ellas y, personalizado en ellas con sus nombres, a todos los que quieren ver y lo consiguen. Esas tres alumnas son Carlota B., Sara F. y Hanae E. Cada una en su medida, han dado un paso importante de lo que "su propio yo" y "su propio entorno fuera del aula" les dejaba ver el año pasado a lo que les deja ver este año. Una un sato grande, otra un salto muy grande, otra un salto inmenso.

Lo importante es esto:

26 + 57 =

No cómo se haga:

\begin{array}{l} 26 + 57 = (20 + 6) + (50 + 7) = \\ (20 + 50) + (6 + 7) = 70 + 13 = \\ (70 + 10) + 3 = 80 + 3 = 83 \end{array}

Pero el "sumun" de la felicidad lo he sentido cuando una de ellas me ha comentado, después de mi explicación, algo parecido a esto:

"Cuando yo era pequeña me preguntaba por qué era eso de 'me llevo una' cuando hacíamos las sumas. Cuando preguntaba por qué me decían que 'era así' ."
Tal vez, quien te lo contaba, ni siquiera lo sabía - le he dicho-. Tú, por ejemplo, no sabías por qué hace cinco minutos y si un niño pequeño te hubiese preguntado lo mismo no hubieses sabido qué contestar.

¿Alguien se imagina la felicidad de un profesor cuando tiene alumnos con interés por entender y él es capaz de abrirles la puerta a esa comprensión? Si esto no fuese un blog para alumnos de1º y 2º de la ESO, resumiría la sensación sentida de "una culminación de placer" por una palabra más mundana que repetí hasta la saciedad en una charla hace unos meses delante de muchos profesores de secundaria al expresarles lo que sentía en infinidad de ocasiones en las clases de 1º de ESO (el año pasado).

Y, NO, no hablo de aprender, hablo de entender.

Ingenio y raíces cuadradas

2011-11-09T19:36:00.000+01:00

A veces un profesor se encuentra con alumnos despiertos.
Bien es cierto que, cuanto más avanzamos en los cursos del sistema educativo es más difícil que esto suceda. A lo largo de los años de Escuela Primaria, Secundaria y Bachillerato les vamos anestesiando a base de algoritmos sin sentido, de no enseñarles a pensar sino a memorizar y a repetir, de olvidar los conceptos y la esencia de las cosas y limitarnos a ... lo habitual.

Yo he tenido mucha suerte. El año pasado tuve un buen conjunto de alumnos despiertos en 1º de la ESO y, este año, unos cuantos de ellos, no todos, me los he vuelto a encontrar en 2º.
Entre esta pléyade ^(*) se encuentra Javier G., "chico listo donde los haya, casi tanto como vago para coger un bolígrafo, pero que tiene esa intuición precisa para las cosas de números, que lo distingue".

(*) pléyade: Grupo de personas famosas, especialmente en las letras, que viven en la misma época

Estábamos el otro día haciendo la raíz cuadrada de 71 que les había puesto en un examen y, obviamente:

En el examen la podían hacer por el método que quisieran pero me tenían que dar el resultado con un decimal y que yo viera las operaciones realizadas. No había calculadora.
Como uno de los métodos, tal vez el mejor con esta aproximación y para números tan pequeños, era el de tanteo y acotación ... llegamos a la conclusión de que el resultado era : 8'4
Como otro de los métodos posibles sería el realizar el algoritmo clásico, si lo recordamos, llegamos a la conclusión de que el resultado era: 8'4

Y entonces Javier levantó la mano:

- Jorge - me dijo- es casualidad que ... (aquí yo había desconectado)
- Si - contesté- es casualidad.

Pero Javier, sólo cuando quiere, puede ser persistente y con sus intuiciones numéricas, a veces, coge el bolígrafo. Así que, al día siguiente me vino con una hoja y 3 ó 4 raíces cuadradas hechas con su algoritmo y me dijo nada más entrar:

- Jorge, es que lo que te dije ayer, he probado y ...
- Vete a tu mesa - le dije- y cuando tus compañeros se callen nos lo cuentas a todos.
[...] Hecho el silencio comenté que, el día anterior no le había hecho ni caso pero que quería preguntar algo así que le di la palabra para que lanzara la pregunta ...
En primer lugar - contesté más o menos así - he de confesarte que ayer ni te escuché la pregunta, pero si te has molestado en trabajarla en casa y hacer raíces entonces ahora te escucho.
- Es casualidad que, cuando hago la raíz por el algoritmo, las dos últimas cifras de la derecha en la última operación - las señalo en rojo en la imagen inferior- coincidan con las dos últimas cifras de la comprobación - las señalo en rojo en la imagen inferior- Además - añadió- he probado si lo hago con más decimales y también funciona.

La verdad es que Javier puede llegar lejos. Ve donde los demás ni sueñan ver. Así que, se mereció mi atención y mi respuesta. Nunca nadie me había preguntado tal cosa. Nunca yo me había a parado en tal observación. Pero solo hay que mirar y ver.

NO, no es casualidad. Voy a intentar explicártelo, bueno, a intentar explicarlo para todos.

Y se lo expliqué, o le esbocé la explicación empezando de este modo y dejando que el instruido, o atento, o suspicaz, o inquieto, o tenaz, o persistente ..., lector lo acabe de entender y lo generalice:

Cuando te dan un número entero para calcular su raíz, si quieres sacar decimales, debes "bajar dos ceros".
En la operación auxiliar de la derecha para intentar ajustar el resto anterior, las dos últimas cifras, esas que tú me indicabas, son las que coincidirán al restar precisamente con los dos ceros.
Luego ...

Dos exámenes muy tristes

2011-11-05T20:59:00.002+01:00

Dos exámenes muy tristes ...

No es lo que pregunto, es lo que responden y cómo lo responden lo verdaderamente triste. Casi todo sigue igual, sólo aquellos que logran entender de verdad llegan a lo que se pretende.
"El problema es que la mayor parte de los profesores asumen que, hacer denominador común, multiplicar numeradores por numeradores, multiplicar en cruz, ... es entender algo"
¡Sigo pensando que, el fin, no justifica los medios!

Las matemáticas de la escuela

2011-11-05T20:49:00.000+01:00

Era un día de examen de matemáticas para 2º de la ESO y ésta era una de las preguntas:

3. Discutíamos mi primo y yo sobre una tarea que nos habían puesto de matemáticas:

\frac{3}{4} \cdot \frac{48}{15} =

- ¡Que si se multiplica en cruz, que si se hace denominador común, que si se …!

De pronto, cosa rara, nuestros padres nos hicieron reflexionar sobre este pequeño párrafo:

Cuando discuten dos matemáticos - y lo hacen, a menudo de un modo muy apasionado y agresivo -, de repente uno se detiene y dice: 'Lo siento, tienes toda la razón, ahora veo mi error'. Y se irán y comerán juntos, como grandes amigos"

Cartas a una joven matemática – Ian Steward -

Así que:

A) Reflexiona y explica qué me pide esa operación matemática y, cómo haríamos lo que pide, en la vida real.

B) Observa después que, con “la regla adecuada de la clase de matemáticas” el resultado es el mismo.

La respuesta de una de mis nuevas alumnas ha sido totalmente demoledora:
A) Me pide que haga $\frac{3}{4} por \frac{48}{15}$ , y yo lo que haría sería multiplicar los denominadores y los numeradores como me hayan enseñado en el colegio. Yo creo que eso no saldría en la vida real.

Jesica Ji

Si algún profesor de matemáticas quisiese mirar, salir fuera de su cascarón y entender, no harían falta comentarios.

¿Para qué?, me volví a preguntar con una infinita tristeza, ¿para qué?

Nadie quiere entender lo que pregunto y está delante, en las narices de todos, frente a vosotros ... Y todos mirando hacia otro lado.

Que el mundo siga dando vueltas, que las matemáticas de la escuela sigan sin tener nada que ver con la realidad, que para "enseñar" matemáticas siga valiendo cualquiera...

Sentido común versus factor común

2011-10-23T12:46:00.003+02:00

En principio, el título de esta entrada iba a ser "Factor común versus Sentido común", pero, una vez más, antes de escribirla quise asegurarme del significado último de la palabra versus, comúnmente abreviada vs. Así que, no sólo el título cambió sino que mi entrada ha encontrado una doble finalidad. Comenzaremos por lo que en principio iba a ser y terminaremos por lo que el destino ha deparado como complemento:

Desde el Sentido común HACIA el Factor común:

Como he indicado en alguna otra ocasión, el sentido común no es muy usual en la enseñanza de las matemáticas y si lo fuera, nada sería tan abstracto y fuera de la cotidianeidad:

2 perros + 3 perros - 4 perros = 1 perro = perro

A nadie se le escapa que, el sentido común guía la respuesta anterior y que, si en vez de perros hablamos de cualquier otra cosa, entidad, fantasía o abstracción, el resultado será el mismo:

Cosa: 2 casas + 3 casa - 4 casas = 1 casa = casa
Entidad: 2 almas + 3 almas - 4 almas = 1 alma = alma
Fantasía: 2 hadas + 3 hadas - 4 hadas = 1 hada = hada
Abstracción: 2 α + 3 α - 4 α = α

Queda claro en el ejemplo que, todo es igual pero la Abstracción resulta más abstracta; redundancia que viene a abundar en la propia esencia del concepto de abstracción como algo que supone un esfuerzo de extracción mental de la esencia. Ahora, por destacar un matiz sencillo pero trascendente, el plural está implícito y debe leerse : "dos alfas, ...".

Queda perfectamente claro que, aplicando simplemente el sentido común:

2·11 + 3·11 - 4·11 = 1·11 = ·11

Me encantó el viernes escuchar a un alumno de 2º de ESO jactarse ufano de que le había puesto a sus padres ejemplos de este tipo y que siempre lo hacían multiplicando primero y sumando y restando después. ¿Cómo van a ayudar esos padres a sus hijos a entender lo que yo les enseño? , me pregunté.

El sentido común me permite dar un ligero paso hacia la abstracción y poder entonces razonar así:

5 X + X - 3 X = (5 + 1 -3) X = 3 X

Habrá personas que aquí, ya empicen a patinar con la abstracción de terminología de las X y de los paréntesis e incluso que le cueste llegar a entender que:

5 X + X - 3 X NO ES IGUAL que (5 + 1 -3) = 3

porque, al principio tenía X y, después dejé de tenerlas para quedarme sólo con cifras.

Resulta que en las clases y los libros de matemáticas a esta aplicación del sentido común se le denota sacar factor común. Y con el factor común la mayor parte de nuestros alumnos no entienden:

¿Por qué se le llama así? (Nunca se les explica)
¿A qué responde? (Pocas veces se les hace reflexionar sobre ello)
¿Qué es un factor, qué es común y común a qué?
¿Por qué es habitual que, con una operación como la anterior, a un gran porcentaje de ellos se les ovide que el sumando central está y pongan burradas como esta:
5 X + X -· 3 X = (5 - 3) X = 2 X

Pero lo más natural resulta explicar a todo el mundo lo que dice el sentido común para después ir hacia el factor común, pero sólo para aquellos a los que las abstracciones y/o las matemáticas les resulten llamativas como para perder su tiempo con ellas. A los demás, sinceramente, para aprenderse de memoría y sin sentido algo como el factor común, mejor que reciten poesías.

Sentido común VERSUS Factor común:

Resulta que la palabra Versus es de origen latino, suele abreviarse en vs y significa «hacia» o «frente a». Esta palabra ha sido introducida por el inglés en el sentido de «contra», pero es de uso impropio en español. Con un poco más de detalle puedes ver el mismo comentario en esta web sobre el origen de las palabras.

Así que, obviamente, mi manifiesta ignorancia me hizo pensar en el título original de esta entrada como "Factor común vs. Sentido común" en alusión clara a la confrontación, a la lucha que mantengo día a día contra el sistema que pugna por defender el Factor común mientras yo no hablo de él hasta muy adelante (tal vez 3º ó 4º de la ESO) mientras sostengo el frente del Sentido común.

Sólo después de hacer que "mi lengua no se adelantase a mi razón", consultado el verdadero sentido de Versus, he optado por la pedagogía del "Sentido común hacia el Factor común". Tal vez de una manera excesivamente romántica porque versus (hacia) conlleva una connotación de ir hacia el otro pero frente a frente y, en mi caso, no es del todo así. Quiero que ambas cosas se acerquen, convergan, se den la mano, pero partiendo de una para caminar hacia la otra.

"Desde mi sentido común voy hacia la abstracción del factor común" pero que sólo vaya el que quiera, porque las matemáticas de la escuela son matemáticas para la vida y, nos guste o no, la enseñanza hasta los 16 años es la enseñanza de la "escuela" y no la enseñanza del "instituto de segunda enseñanza" como los políticos nos han querido hacer ver para intentar engañarnos a todos:

A los que fuimos profesores de instituto y hoy somos de secundaria para que no protestásemos por habernos encomendado una tarea para la que no fuimos preparados ni a la que opositamos.
A los maestros para hacerles creer en una igualdad estúpida entre primaria y secundaria cuando no hay nada más desigual en su propia naturaleza educativa y no es cuestión de prestigio o conocimiento sino de cualidad.
A los padres... de cualquier manera, porque nunca entendieron la diferencia, siguen sin entenderla y sólo importa el concepto de guardería que conlleva la enseñanza: "menos vacaciones para los maestros y más tiempo en la escuela para que guarden a nuestros hijos mientras nosotros trabajamos".

Curiosamente en todos estos argumentos últimos hay mucho de "frente a" de "lucha con", de la variante inglesa de VERSUS que se ha impuesto en nuestras vidas.

Un problema de potencias

2011-10-09T21:13:00.000+02:00

¿Por qué un problema como el que aquí planteo no es un problema de 1º de la ESO y, se convierte en un problema difícil de 4º de la ESO?
Tengo la respuesta. Me la ha dado mi hijo que ya ha terminado la ESO cuando me ha dicho que, nunca le habían hecho reflexionar sobre el hecho de que:

$10^{9}$ son 10 veces $10^{8}$

Os he de confesar que, lo que de verdad dijo es que, a él, no le habían enseñado eso. ¡Ya sabes, cosas de alumnos!
Así que aquí os propongo, pequeños alumnos, el mismo problema que puedo proponer, y de hecho he propuesto durante muchos años a, alumnos de 3º de ESO, de 4º de ESO, de 1º de Bachillerato y, a muchos Bachilleres hechos y derechos, siempre con muchas más decepciones que alegrías:

Una estrella se encuentra de la Tierra a:

3,11 \cdot 10^{32} u

. Otra estrella, alineada con ellas se encuentra de la Tierra a una distancia de:

3,11 \cdot 10^{33} u

. Haz un dibujo a escala de la posición de la Tierra y las dos estrellas representando cada una por un punto con los nombres ( T, E1, E2)

La solución, si no das con ella, léela en: Un problema de potencias de derecha a izquierda

Operaciones y más operaciones

2011-10-08T20:38:00.000+02:00

Ninguna pregunta de estos exámenes de operaciones que adjunto aquí tendría sentido sin entender primero lo que se recoge en algunas entradas previas de este blog:

Para nuestra desgracia y la de nuestros alumnos, la mayor parte de ellos las realizan sin sentido. Pero cada vez, después de insistir durante más de un año, veo que muchos de mis alumnos están entendiendo.
Quiero dedicarle esta entrada a uno de ellos (Ander) que, hace unos días me dijo algo parecido a esto después de salir de una clase en la que hablamos de potencias:
"Sabes Jorge, quiero decirte que creo que tenías razón" .
El año pasado sufrió conmigo durante todo el curso, éste volverá a sufrir, pero creo que había visto algo que antes no había conseguido ver.
"Me alegro por tí", le contesté, "porque te aseguro que, si lo entiendes, todo será más fácil aunque te haya costado tanto tiempo verlo".

Y así es, me alegro por él y por los demás que llegan a verlo y me entristezco por todos los que, lejos de escucharme, se siguen aprendiendo las reglas de toda la vida.

Examen de operaciones de 2º de ESO B. 2011-2012

Examen de operaciones de 2º de ESO C. 2011-2012

Un limón y medio limón ...

2011-10-08T20:12:00.002+02:00

Había un juego infantil, o tal vez no tan infantil que empezaba diciendo "Un limón y medio limón". No sé muy bien en qué consistía pero seguro que todos sabemos contestar a preguntas como estas:

¿Cuántos limones son 'un limón y medio limón'?
¿Cuántos limones son '9 limones menos un limón'?

Así que, de eso va nuetra lección de hoy: de cómo, los castillos más complejos de operaciones, si los viésemos como algo natural, tendrían una resolución natural. Ya habrá tiempo para aprender reglas sin sentido más tarde y, entonces, cuando las aprendamos, se convertirán en reglas naturales.

Todos los habitantes de mi pueblo saben , y por supuesto mi abuelo sabía, que un limón y medio limón da para mucho:
- Si estamos 3 personas nos lo prodríamos repartir sin problemas: "medio limón a cada uno", porque disponemos de 3 mitades de limón: $\frac{1 + \frac{1}{2}}{3} = \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{2}$
- Si estamos 6 personas nos lo podremos repartir sin problemas. ¡Esperad, no lo chupéis!, diríamos a los tres primeros, que cada uno de vosotros debe repartirlo con otra persona así que, disponemos de 6 cuartos de limón : $\frac{1 + \frac{1}{2}}{6} = \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{6} = \frac{3 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{4})}{6} = \frac{6 \cdot \frac{1}{4}}{6} = \frac{1}{4}$
Casi todo el mundo sabe también que si tenemos nueve limones y nos quitan un limón nos quedaremos con 8 limones.
Es posible incluso que esto no haga falta explicarlo.
- La duda está entonces en saber por qué no es lo más evidente que: $9 x - x = 8 x$ Sin necesidad de decir tonterías del tipo de restar términos semejantes
- Pero más maravilloso es observar que:
  $9 \cdot 9 - 9 = 8 \cdot 9$
- Y qué me dices entonces si tenemos:
  $\frac{9^{7} - 9^{6}}{8} = \frac{9 \cdot 9^{6} - 9^{6}}{8} = \frac{8 \cdot 9^{6}}{8} = 9^{6}$

Pero a quién se le ocurre ...

2011-10-06T23:42:00.000+02:00

Le cuento a mis alumnos que, como las matemáticas que han aprendido en la escuela no tienen nada que ver con la realidad, en las escuela las cuestiones más simples y evidentes de la calle se convierten en cosas ininteligibles, de imensa dificultad, esperpénticas.

¿A quién se le ocurre afirmar en la calle que, si tienes una deuda de 20€ y, después adquieres otra deuda de 14€, en realidad tu deuda total es de 6€?

En la escuela, esto es posible: ¿ - 20 -14 = -6 ?

¿A quién se le ocurre afirmar en la calle que, si tienes una deuda de 25€ y tu tía te regala 30€, lo que ha hecho tu tía es perjudicarte porque ha convertido tu deuda en 55€?

Y, por supuesto, en la escuela, esto también es normal: ¿ - 25 + 35 = -55 ?

Las causas pueden ser diversas pero, os aseguro que, la manera de enseñar las operaciones combinadas de sumas y restas en la escuela es, cuando menos, triste. ¡Reglas sin sentido para que ningún alumno relacione una operación con su vida diaria!

Así que, cuando me encuentro con estas barbaridades (casi cada día) les digo que van a ser adultos estándar y que, cuando un político se suba a un estrado o salga por la tele y diga ...:

"Os aseguro que el Partido Contrario os ha prometido 5€ por persona pero, nosotros, el Partido Contrario del Contrario os ofrecemos más. Nosotros os daremos los 5€ por persona y, además, os daremos menos 6€ más a cada uno"

... Si el político es de "los míos" gritaré como un loco ... SIIIIIII, eso SIIIIII, y no lo que nos dan los miserables de los Contarios.

... Si el político es "de los otros" gritaré como un loco .... NOOO, eso no es posible porque se vaciará la caja del dinero y no tendréis suficiente sin subir más los impuestos.

Por si las moscas, nunca escuches ni pienses, no sea que lo que te hayan prometido se parezca a:

5 + (-6) = 5 -6 = -1

Hoy, sin ir más lejos leía en la novela Silvia y Bruno (I) de Lewis Carroll ...

"Y entonces todos dieron vivas de nuevo, y un hombre, que estaba más excitado que los demás, lanzó su sombrero al aire y chilló (tal como yo podría transcribirlo) '¿Quién está afavor del Sub-Alcaide?' Todos gritaron, pero si a favor del Sub-Alcaide o no, es algo que no estaba claro: Unos gritaban: '¡Pan!', y otros '¡Impuestos!', pero ninguno parecía saber realmente lo que querían."

Y después de leer esto he pensado ...

-¿Acaso soy yo también, como su personajes, un trasunto del propio Lewis?

- ¡Ya me gustaría!

Una colección de exámenes

2011-07-08T13:30:00.001+02:00

A petición de alguno de mis alumnos pongo aquí los enunciados de los últimos exámenes. Dos de ellos, los dos últimos, no se los llevaron para casa así que, algunos querían tenerlos o que viesen los enunciados sus padres.
Se que hace mucho que deje el blog en "stand by" por circunstancias que no vienen al caso, aunque espero retomarlo en el próximo curso. Por ahora, aquí van los enunciados:

La Rebelión de los números

2011-02-15T21:03:00.005+01:00

No sé si os dais cuenta de que las matemáticas forman parte de nuestra vida.
No, ¿verdad? No te has dado cuenta. De hecho, lo más probable que no sea así. ¡Seguro que no es así! ¡Tristemente no es así! Las matemáticas no forman parte de tu vida mas allá de la propia clase de matemáticas.

Antonio de la Fuente Arjona nos dice, a través del "PROFE DE MATES", en su obra de teatro "La rebelión de los números" que, al menos, los números siempre están ahí; no podemos vivir sin ellos y, sin embargo, no les hacemos caso, no les queremos, no los entendemos y un día se enfadarán y nos abandonarán.

Sólo se valora lo que se pierde ...

[...]
SILVIA: (Realmente arrepentida.) Perdóneme, Profe, pero es que en cuanto empieza la clase de matemáticas me da un sueño… (Y bosteza.) ¡Uy!, perdón.
OMAR: Es que las mates son un poco rollo.
SARA: Yo no puedo con ellas.
MARCOS: ¡Pues anda que yo!
PROFE DE MATES: ¿Pero no os dais cuenta que las matemáticas forman parte de nuestra existencia?
CHEMA: ¿De verdad?
[...]

Hay un Canción de Luis Eduardo Aute que nos dice ...
[...]
Cine, cine, cine,
más cine por favor,
que todo en la vida es cine
y los sueños,
cine son.
[...]

Y no, probablemente para tí no sea así. Tampoco tu vida y tus sueños sean cine.

Pero te aseguro una cosa ...

Con las matemáticas, como con el cine, como con la vida, puedes disfrutar, te puedes divertir, puedes soñar ... Pero esto será cuando entiendas que, hasta en el más oscuro e inhóspito rincón del conocimiento, hay belleza y es fantástico encontrarla porque, entonces, aquel rincón se llenará de luz.

Los exámenes del Tema 6

2011-02-01T21:45:00.001+01:00

Entraban cosas del Tema 6 (Lenguaje algebraico)

La belleza de un problema. La simplicidad del entendimiento

2011-02-01T21:34:00.003+01:00

Cómo cambia un problema cuando pasa de ser un problema de clase de Matemáticas a ser un reto real, algo que no tiene que ver con las "Mates de la Escuela", algo que tiene que ver con las "Mates de la vida".

Un problema de punto rojo de nuestro libro, algo casi imposible de hacer y, sin embargo, tal fácil y con tantas matemáticas dentro:

Tengo un montón de baldosines cuadrados y, con ellos, quiero formar un cuadrado lo más grande posible. Me pongo a la tarea y, me doy cuenta que, si lo intento, me sobran 23 baldosines, pero también observo que, para conseguir un cuadrado de un baldosín más por lado, me faltan 46.
¿Cuántos baldosines tengo en mi montón?

Empecemos por entender el problema, tan fácil y tan imposible a la vez. No hay mejor manera que ponerse manos a la obra y colocar baldosines.

¡NOOOOOOOOO, Así NOOO!
Ponte a colocar baldosines para resolver el problema.
Si no sabes lo que digo, ólvidate de seguir adelante
Empecemos en serio.

Con un cuadradito.
¿Tengo más para seguir? ... ¿Cuántos necesito para completar otro cuadradito? ... Tal vez 3.
¿Tengo más para seguir? ... ¿Cuántos necesito para completar otro cuadradito? ... Tal vez 5.
¿Tengo más para seguir? ... ¿Cuántos necesito para completar otro cuadradito? ... Tal vez 7.
Tal vez ahora entiendas lo que significa que te sobren o te falten cuadraditos. ¿Cuántos necesitas para completar el siguiente cuadrado?
¡No sigas! ¡Párate y piensa!
¿Qué has hecho en cada paso?
¿Cuantos cuadrados has necesitado cada vez?
Imagina que has completado un cuadrado de 4 cuadraditos de lado. ¿Cuantos necesitarás para hacer el siguiente de 5 cuadraditos de lado?
Si crees que lo tienes claro ...
Si hubieras completado un cuadrado de 15 cuadraditos de lado ... ¿Cuántos necesitarías para completar un cuadrado de 16 cuadraditos de lado?
No sé hasta dónde he llegado, lo que sé es que me sobran 23 baldosines y necesito 46 más para completar el siguiente cuadrado
No debería decirte más ... El problema debería estar resuelto.
Si no es así, no sigas adelante, comienza desde el principio
Ahora fíjate en lo siguiente:
- Si tengo un cuadradito y me dan 3 ... la cosa cuadra
  1 + 3 = 2² = 4.
- Si tengo dos cuadraditos de lado y me dan 5 cuadraditos... la cosa cuadra
  (1 + 3) + 5 = 2² + 5 = 4 + 5 = 3².
- Si tengo tres cuadraditos de lado y me dan 7 ... la cosa cuadra
  (1 + 3 + 5) + 7= 3² + 7 = 9 + 7 = 4².
- ...
- Si tengo 10 cuadraditos de lado y me dan 21 ... la cosa cuadra
  (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 )+ 21= 10² + 21 = 11².
- ...
Yo concluyo algo realmente interesante de todo esto:
- La suma de muchos números impares seguidos, empezando desde el 1 , es un cuadrado perfecto
- La suma de 10 números impares seguidos desde el 1 me da un cuadrado de 10 cuadraditos de lado: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 10² = 100
- La suma de 30 números impares seguidos desde el 1 me da un cuadrado de 30 cuadraditos de lado:
  1 + 3 + 5 + ... + 59 = 30² = 900
- ¿Y la suma de 50 números impares consecutivos ?
Este cuento podría seguir con más historias y, seguro que no podríamos dejar de hablar de Gauss ... pero eso será otro día.

Aprende ecuaciones divirtiéndote

2011-01-14T20:37:00.002+01:00

Nada más fantástico que aprender divirtiéndose.

He encontrado esto en Internet: http://webs.ono.com/argopuebla/ArgoEcuaciones.html , para que juegues y aprendas ecuaciones como Hypatia.

ArgoEcuaciones 1.0

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Si no funciona, comprueba que tienes la versión java 1.5(o superior)

Lenguaje Algebraico: Las ecuaciones

2011-01-14T20:15:00.004+01:00

Cuando Hypatia entendió las ecuaciones

[...] Ella tendría unos siete u ocho años. El padre (Teón) , había comenzado a enseñarle matemáticas y le había dado un volumen de la Aritmética de Diofanto. Le había explicado que, en matemáticas, cuanto más se profundizaba, con mayor facilidad y elegancia se resolvían los problemas. << No tienes por qué aprender a resolverlos como si fueses un mercachifle - le había dicho -, pues puedes hacerlo cómodamente con las ecuaciones diofánticas.>> La niña se había encerrado en su cuarto y había meditado largamente sobre sobre las palabras y las explicaciones del padre. Y de repente vio con toda claridad lo que el padre quería decirle. Se fue corriendo a su despacho y no lo encontró. Luego cogió una balanza del cuarto del padre y salió corriendo a buscarlo por toda la casa. Le dijeron que Teón estaba fuera. Al salir de la casa lo vio dando instrucciones a unos hombres que estaban descargando una enorme pizarra de una carreta. Siempre asociaría al padre con aquellos grandes tableros repletos de cálculos hechos con tiza. Interrumpió al padre, puso la balanza en el suelo, colocó pesas en ambos platillos, procurando que tuviesen igual peso y dijo, presa de excitación:

- Te he entendido, padre, tienes razón, es muy sencillo. No tengo más que hacer todas las operaciones que se me antojen en los dos platillos. Puedo sumar, restar, multiplicar y dividir; de lo único que tengo que preocuparme es de que ambos pesen lo mismo. He de jugar hasta que en uno de los platillos se quede la pesa correspondiente al valor que desconocemos. Y el otro me dará la cantidad.

El padre la había alzado en brazos, se la había comido a besos y luego aquel hombre de serenos ademanes e incapaz de alzar la voz se había puesto a gritar como un loco, llamando a los vecinos:

- ¡Salid, asomaos! Acudid, que aquí tenéis a quien se convertirá en la mayor matemática de Alejandría!

Y a partir de aquel momento no recordaba ni un solo día de su infancia en que el padre no hubiese pasado con ella algunas horas enseñándole matemáticas, física y astronomía. Si había llegado a donde había llegado, todo se lo debía a él [...]

Hypatia. La mujer que amó la ciencia - Pedro Gálvez. -

Lenguaje Algebraico y ... Magia

2011-01-14T20:10:00.001+01:00

¡SE LO QUE ESTÁS PENSANDO!

No es sólo el título de un libro (editado en 2010 en español) y que se ha convertido en un bestseller . Tal vez la lectura no sea aún recomendada para alguien de 1º de la ESO pero si para tus padres o tus hermanos de bachillerato.

No es un farol de jugador de cartas

Es la pura realidad

Mis alumnos nunca me lo creen cuando se lo digo pero puedo adivinarles el pensamiento.

Se cuando sus pensamientos se van fuera de la clase y no me atienden.
Se lo que me quieren decir antes incluso de que abran la boca.
Se que no me han entendido y no se atreven a preguntar.
...
Y, siempre que les mando pensar un número, ¡PUEDO ADIVINARLO INCLUSO SIN VERLES!

A tí también puedo adivinarte lo que estás pensando y, si no lo crees, lee despacio y lo verás:

- Piensa un número cualquiera y, si es un número raro, ten a mano la calculadora para hacer operaciones
- Suma 2 al número que has pensado.
- Multiplica lo que te ha dado por 7
- Suma a lo que te ha dado el triple del número que pensaste al principio
- Si el número que te ha dado es impar, súmale 5, y si es par, súmale 6
- Divide lo que te ha dado por 10
- Por último, resta 2

... Te lo dije, sé lo que estabas pensando, precisamente el número que te ha dado como resultado de tus operaciones. No otro cualquiera, precisamente ESE, EL QUE ESTABAS PENSANDO.

Y todo ello lo puedo hacer gracias a la magia de las matemáticas, gracias a la mágia del cálculo algebraico, gracias a que las matemáticas son para mí algo divertido y apasionante.

Las Potencias ...

2010-12-27T23:20:00.006+01:00

Cualquier persona sensata que repite hasta la saciedad las mismas cosas busca una manera abreviada de expresarse. Es agotador escribir:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
Si lo tienes que hacer una vez ... pase. Pero si lo tienes que hacer a cada momento ... juguemos a abreviar y escribamos de una forma más corta y lo suficientemente clara para entenderla:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ( haremos que se escriba) 9 · 3 ( y lo leeremos como nueve treses ó nueve por 3)
De este modo:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 9 · 3 + 9 · 5

Apliquemos el mismo juego para descubrir las potencias:
Es agotador escribir:
3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3
Así que vamos a escribirlo de una manera más corta:
3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 ( haremos que se escriba) 3⁹ ( y lo leeremos como nueve treses multiplicándose ó 3 elevado a nueve)

Ni se te ocurra aprenderte ninguna estupidez más sobre las potencias
No hagas caso a nadie, confía en mí. Olvídate de las reglas que memorizaron tus padres y las que te enseñarán los demás.
Como te he dicho en clase, sólo dos cosas debes saber de momento:

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto repetido
3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 ; 7⁴ = 7 · 7 · 7 · 7
El exponente de una potencia afecta sólo a lo que tiene inmediatamente debajo
-7⁴ = - 7⁴ = - (7 · 7 · 7 · 7 )
(- 7)⁴ = (- 7) · (- 7) · (- 7) · (- 7)

Ahora haz que ambas cosas no se te olviden y, cada vez que veas una potencia, recuerda ambas cosas y sólo esas.
Te parecerá sencillo pero no lo es.
No lo es porque no me vas a hacer caso.
No lo es porque se te va a olvidar hacerme caso.
NO LO ES PORQUE TE VAS A EQUIVOCAR MILES DE VECES Y ENTONCES VERÁS QUE NO ME HAS HECHO CASO.

Aquí te dejo nuestro último examen de potencias para que compruebes una vez más que no me has hecho caso:

Decimales y Fracciones

2010-12-27T22:54:00.008+01:00

Una cosa es el número y otra muy distinta la manera de representarlo.

"Mi abuelo sabía de lo que hablaba cuando afirmaba que tres cuartos más tres cuartos siempre fueron 3 mitades"
¿Qué importa si lo represento:

Así :
O así: 0'75 + 0'75?

"Todo ladrón que haya pertenecido a la banda del trío sabe que un tercio más la mitad de un tercio es un medio"
¿Qué importa si lo represento:

Así :
O así:

Ninguno de ellos tuvo Sobresaliente en Matemáticas, ni tan siquiera Notable, pero sabían de lo que hablaban...

¡Corre y dile a tus padres que lean esto! Porque de esto se trata el aprender, de entender lo que mi abuelo y todo ladrón del trío entendían y no de resolver las cuentas sin entender lo que haces y sin entender si están bien o mal.
No me hables de que se multiplica en cruz o se hace el denominador común, háblame de que tiene sentido lo que haces porque haciéndolo así ..., el resultado es verdad, el resultado es correcto ... el resultado tiene sentido

Sólo si cuando ves un número, éste significa algo para tí, sólo entonces estarás aprendiendo.

Este fue nuestro examen sobre estas cuestiones:

Examen Temas 1 , 2 , 3 y 4 de 1º ESO (Diciembre-2010)

¿Cuándo me olvidé de ti? ... Mucho antes de lo de los ciruelos chinos

2010-12-27T22:17:00.005+01:00

No sé cuando dejé de escribirte; tal vez antes de que me leyeras o, tal vez, mantengo aún la esperanza, dejaste de hacerlo más tarde.

Pero te hablé y te hablé. No es excusa, aunque prioricé otras cosas y hoy estoy arrepentido. Mi debilidad es mayor que mi deseo.

Me marché leyendo para tí " ¿Y los ciruelos chinos?"

El día de Navidad me hizo renovar la esperanza: hay muchas más plantas rojas moradas y azules ...

Tal vez, el año que viene, cuando volvamos a encontrarnos alguien sea capaz de sacarme del marasmo y devolverme a la vida y deje de plantearme nuevamente lo mal profesor que soy por provocar tan solo "dudas insípidas".
Tal vez, en la próxima evaluación, algún padre más comprenda que lo importante no es "sacar la asignatura sino aprender de ella".

Sigo soñando porque he visto más, he leído más y oí hablar incluso de coles lombardas, moradas, ligeramente dulces .

Exámenes Temas 1, 2 y 3

2010-11-19T16:52:00.001+01:00

Aquí os cuelgo los exámenes que hemos hecho esta semana pasada para que los hagas tranquilamente en tu casa, con calma y con tiempo y te demuestres a ti mismo lo que realmente entiendes y has aprendido.

Entraban cosas del Tema1 (números naturales y divisibilidad), Tema2 (números enteros), Tema3 (Fracciones)

Nuestro segundo examen

2010-11-02T22:35:00.000+01:00

Tal y como hicimos con los primeros exámenes, aquí os coloco los enunciados del 2º examen en el que entraban los temas 1 y 2:

Operaciones. Tema 2

2010-10-26T00:09:00.000+02:00

Hoja de ejercicios: Operaciones y propiedades II (PDF)

En el enlace tienes una hoja de ejercicios para que practiques, fundamentalmente aspectos que hemos visto en el Tema 2.

La regla de los signos

2010-10-25T20:26:00.003+02:00

No me extraña que mis alumnos me pregunten por la regla de los signos, pero me resisto a contarla.

"Las reglas" que aplicamos sistemáticamente en las matemáticas escolares son, casi siempre, deducciones sencillas de razonamientos poco complejos; han sido el resultado del estudio de situaciones; han llegado haciendo matemáticas.

Dice Ian Steward en su libro Cartas a una joven matemática :

"Las escuelas [...] están tan preocupadas por enseña a sumar que apenas preparan a los alumnos para responder (o incluso plantear) la pregunta mucho más difícil e interesante: ¿qué son las matemáticas?

[...] Cuando discuten dos matemáticos - y lo hacen, a menudo de un modo muy apasionado y agresivo -, de repente uno se detiene y dice: 'Lo siento, tienes toda la razón, ahora veo mi error'. Y se irán y comerán juntos, como grandes amigos"

4 x 3 :
- Es una forma abreviada de escribir: 3 + 3 + 3 + 3
- Es una forma precisa de representar la suma de cuatro treses
- Es una forma evidente de indicar +12
4 x (-3) :
- Es una forma abreviada de escribir: (-3)+(-3)+(-3)+(-3)
- Es una forma precisa de representar la suma de cuatro deudas de 3€ cada una
- Es una forma evidente de indicar que tengo una deuda de 12€
- Es claro que lo representamos con -12
(-4) x (3)
- Es una forma abreviada de escribir: (-4)+(-4)+(-4)
- Es una forma precisa de representar la suma de tres deudas de 4€ cada una
- Es una forma evidente de indicar que tengo una deuda de 12€
- Es claro que lo representamos con -12
(-4) x (-3) :
- Es una forma abreviada de escribir: me quitas 4 deudas de 3€ cada una
- También es una forma abreviada de escribir: me quitas 3 deudas de 4€ cada una
- Representa pues el hecho de que me quitas una deuda total de 12
- Si tengo una deuda de 12€ y me la quitas, me la perdonas, me estas regalando 12€
- Es claro que lo representamos es +12

¿Cuando entiendo lo que acabo de exponer es muy fácil concluir, si la necesito, la regla de los signos; es muy fácil reconstruir, si la he olvidado, la regla de los signos; es muy fácil entender, por qué es así, la regla de los signos:

(+) x (+) = (+)
(+) x (-) = (-) : Un conjunto de deudas será siempre una deuda
(-) x (+) = (-) : Un conjunto de deudas será siempre una deuda
(-) x (-) = (+) : Si me quitas un conjunto de deudas, me estas dando

Cuando sólo te aprendes "la regla de los signos" sin que sea el resultado de tu reflexión, ... ¿Quién te salvará de hacer cosas que no entiendes? ¿Quién te impedirá agarrarte a tu memoria y discutir y discutir sin entender y por tanto sin poder decir ... "lo siento, tienes toda razón, ahora veo mi error"

¿Pero 4 es igual que 2? ... Imposible

2010-10-22T21:52:00.004+02:00

Siempre estamos a tiempo para hacer magia, engañar a incautos o probar si realmente sabemos hacer "cuentas" lo suficientemente bien como para que no nos den "cero por 1".
En el Calendario Matemático de SM del curso 2008-2009 , mes de Mayo de 2009 , mes elaborado por el Departamento de Matemáticas del IES Leonardo Da Vinci de Albacete, aparece la siguiente falacia.

¿Dónde está la falacia?

Por cierto, esto me hace recordar que, en el Calendario Matemático de SM de este curso 2010-2011 , el mes de Marzo de 2011, ha sido elaborado por mi compañero y profesor de nuestro centro Javier Gallarreta Espinosa (Sirva esta entrada también como reconocimiento a tarea y, fundamentalmente, como premio a su gusto por las matemáticas).

Exámenes, exámenes, exámenes, ... ¿para qué?

2010-10-15T16:55:00.002+02:00

Aquí os cuelgo los exámenes que hemos hecho del Tema 1 para que los hagas tranquilamente en tu casa, con calma y con tiempo y te demuestres a ti mismo lo que realmente entiendes y has aprendido:

Matemáticas y Narrativa

2010-10-08T15:06:00.001+02:00

Desde hace unos años, la Real Sociedad Matemática Española y Anaya , convocan un concurso de relatos cortos.
Si te gusta escribir, anímate, pregunta a tu profesor de Matemáticas.

Bases del concurso Narraciones Escolares RSME-ANAYA 2010

Por si te sirve de ayuda, para que veas que no se trata de escribir textos de matemáticas sino literatura que haga guiños a las matemáticas, Anaya publicó el libro Ensoñaciones desde mi pupitre con los 18 cuentos seleccionados de la edición de 2008.

¿Por qué he llamado idiotas a mis alumnos?

2010-10-08T11:50:00.006+02:00

No lo he podido evitar...
Hace no muchos años que aprendí lo que significaba la palabra idiota. Un profesor de Lengua del IES Valle del Oja de Santo Domingo de la Calzada comentaba en la sala de profesores que, a veces, llamaba idiotas a sus alumnos. Pero idiotas, no como insulto, sino como un calificativo.

Idiota: Corto de entendimiento. Que carece de toda instrucción.

Pero hoy intentaba explicar a mis alumnos lo que es un maestro ó profesor; quizá debería decir, lo que tendría que ser. Esta frase de una joven maestra con ansias de saber y aprender más para poder enseñar mejor, lo explica con mucha claridad:

"A veces ardo en deseos de poder estudiar mejor, de una manera diferente; de tener por guía, además de los libros, a un profesor y poder compartir las dificultades con los otros alumnos que las sufren, [...]"

La incógnita de Newton - Catherine Shaw

¿Qué ha pasado hoy en 1º C?
- He preguntado quién "no sabía hacer un ejercicio" que habíamos mandado como tarea el día anterior.
- Ni una sola mano se ha levantado de lo que, les he dicho:

" Deduzco que todos sabéis hacerlo. Por tanto voy a preguntar a cualquiera de vosotros y, si no lo sabe hacer, le pondré un 0. No por no saberlo, he añadido, sino por mentiroso e idiota"

- Pero siendo profesor necesitaba demostrarlo así que les he intentado enseñar algo:

"Voy a repetir la pregunta, he dicho, para que me digáis quién no sabe hacer el ejercicio, porque la tarea de un profesor no es poner ceros al que no sabe sino explicar al que no entiende y, la tarea de un alumnoes intentar entender y aprender y utilizar al profesor para ello."

- Todos los alumnos de la clase excepto 3 han levantado la mano. Muchos no entendían el ejercicio, la mayoría, otros no sabían si lo entendía porque no lo habían intentado. Pero el ejercicio no era sencillo, tal vez hacía falta un profesor para explicárselo a mucha gente. Pero ...

Múltiplos y Divisores. Ampliación

2010-10-04T18:42:00.005+02:00

En tu libro, en la página 25 tienes ejercicios de ampliación. Te voy a proponer aquí uno de los ejercicios de ampliación que allí se encuentran y otros dos más ... para que te estrujes el cereblo si te gustan "las mates":

(Ej. 81 pág 25 del libro) Para cualquier par de números naturales, a y b se cumple que:
a x b = mcd(a,b) x mcm(a,b)
Justifica que, cualquier cuadrado perfecto¹ ( son cuadrados perfectos los números: 4, 9, 16, 25, 36, ...) tienen un número impar de divisores.
Justifica que, cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto¹ tiene un número par de divisores

1 .- Decimos que un número es un cuadrado perfecto si es el cuadrado de algún número natural: 16 = 4 x 4 , luego 16 es cuadrado perfecto. 15 no es cuadrado perfecto

Aprendiendo con tino

2010-09-30T19:51:00.001+02:00

Las matemáticas, como todas las cosas, es importante entenderlas bien más que aprenderlas sin ton ni son.
Este pequeño fragmento, que no deja de tener cierto humor, nos lo ilustra:

[...] Pero lo más divertido es el propio Rey, un muchacho que busca diversiones y le hablan, sin embargo, del enemigo holandés, un muchacho al que aburren con asuntos de gobierno y que sólo espera ver a su maestro de matemáticas para divertirse. Cada día, cuando empezamos la lección, me doy cuenta de que tiene estudiadas muchas cosas y que dedica mucho tiempo a lecturas y a aprender, pero sin orden, de suerte que lo tiene todo confundido y para que cada cosa ocupara el lugar que le corresponde habría que cogerle de los pies y colgarlo con la cabeza abajo, agitarlo un rato y confiar en que la suerte ayude a aclarar sus estudios. Mezcla la aritmética con un álgebra mal aprendida y cuando se llega a los teoremas, sin duda por tenerlos estudiados en libros extranjeros, sólo sabe repetirlos en francés, sin que pueda aplicarlos hablando en castellano. Los principios de geometría los saben todos en latín, que es lengua que habla mejor que ninguna otra. Suma y resta con mucha velocidad, comprende bien las fórmulas de áreas y volúmenes y está muy interesado en la geometría y en la medición de ángulos, de suerte que es listo y muy capaz, pero hecho por mal sastre, porque lo que tiene de largo en esto lo tiene de corto en otras cosas, como si hubiera aprendido a trozos, haciendo paño de retales.

El matemático del Rey - Juan Carlos Arce -

mcd y mcm

2010-09-29T14:15:00.003+02:00

Cuando en Matemáticas usamos las siglas mcd y mcm nos estamos refiriendo a:

mcm: mínimo común múltiplo de varios números
mcd: máximo común divisor de varios números

Olvídate de que estamos en matemáticas y piensa sólo en el significado de las palabras:

Olvídate de que estamos en matemáticas y piensa sólo en el significado de las palabras para contestar a:

¿Qué debes entender con la expresión "máximo común divisor"?
Pon un ejemplo que ilustre la explicación que has dado.
¿Es 2 el máximo comun divisor de 12 y 18? ¿Por qué?
¿Qué debes entender con la expresión "mínimo común múltiplo"?
Pon un ejemplo que ilustre la explicación que has dado.
¿Es 24 el mínimo común múltiplo de 4 y 6? ¿Por qué?

Explica en términos de reparto o de empaquetamiento el significado del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo

Olvídate de que estamos en matemáticas y piensa sólo en el significado de las palabras para contestar a:

Si el "máximo común divisor" de dos número es 1, ¿cuántos divisores comunes a esos números puedes encontrar?¿Por qué?
Si el "máximo común divisor" de dos número es 4, ¿cuántos divisores comunes a esos números puedes encontrar?¿Por qué?
Tenemos dos números de los que sabemos que 2 y 3 son divisores comunes a ambos. ¿Puede ser 3 el máximo común divisor?
Si el mínimo común múltiplo de dos números es 100, ¿Puedes se 90 un divisor común de esos dos números?¿Por qué?
Si el mínimo común múltiplo de dos números es 100, ¿tendrán esos dos números más múltiplos en común?¿Por qué?

La división como reparto o como empaquetamiento

2010-09-29T13:52:00.003+02:00

La operación de la división es algo cotidiano en la vida real. La operación existe porque responde a una necesidad de todos los días.
Cada vez que veas una división puedes ver en ella uno de los siguientes aspectos:

Como un reparto: Tengo 357 caramelos para repartir entre 13 personas
- Cada uno se lleva 27 caramelos.
- Me sobran 6 caramelos.
Como un empaquetado: Tengo 357 caramelos y tengo que hacer paquetes de 13 caramelos:
- Podré hacer 27 paquetes.
- Me sobran 6 caramelos.

De este modo hay ejercicios que se convierten en simples juegos de lo más sencillo:

Sin hacer la división. Cuál será el cociente y el resto de las siguientes divisiones y por qué

358 : 13
360 : 13
364 : 13
352 : 13

Sabemos que un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Así que "279 es divisible entre 9"

Explica en términos de reparto, qué significa que "279 es divisible entre 9"
Sin hacer la división: ¿Cuál es el resto de dividir 280 entre 9? ¿Por qué?
Sin hacer la división: ¿Cuál es el resto de dividir 285 entre 9? ¿Por qué?
Sin hacer la división: ¿Cuál es el resto de dividir 274 entre 9? ¿Por qué?

Sabemos que un número es divisible entre 4 si el número que forman sus últimas cifras es múltiplo de 4. Así que

Sin hacer la división: ¿Es 279 divisible entre 4?
Indica el número más cercano a 279 que puedas que sea divisible entre 4 ¿Por qué?
Sin hacer la división: ¿Cuál es el resto de dividir 279 entre 4? ¿Por qué?

Prioridad de operaciones

2010-09-23T00:23:00.001+02:00

Algunas de las diferencias más importantes entre una calculadora científica y otra que no lo es son:

Las calculadoras científicas respetan la prioridad de operaciones
Ejercicio:
Realiza en una calculadora científica y en otra que no lo sea la operación:
1 + 3 x 3 =
Observa que el resultado es diferente. Sólo la calculadora científica respeta la prioridad de operaciones y hace primero la multiplicación obteniendo el resultado correcto: 10 .

Las calculadoras científicas, al operar, trabajan con varias cifras que no se ven en pantalla que se usan para redondear.
Ejercicio:
Realiza en una calculadora científica y en otra que no lo sea la operación:
1 : 3 x 3 =
Observa que el resultado es diferente.

Matemagia numérica

2010-09-22T13:53:00.001+02:00

Las matemáticas son una fuente inagotable para trucos de mágia. En este caso te presentamos trucos basados en las propiedades de los números y, en particular, del número 9:

TRUCO del 9: http://sferrerobravo.wordpress.com/2008/06/25/la-prueba-del-9/
Curiosidades sobre el 9: http://www.oviedocorreo.es/personales/comecoco/soluciones/sadivina9.htm
Magia con el 9: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/recursosinternet/Juegos/Magia9.asp

Ejercicio:

Conviértete en mago. Aprende un juego de mágia del 9 de los enlaces anteriores y hazlo en tu casa a tus padres y/o tus hermanos.

Humor

2010-09-22T13:07:00.000+02:00

Una de las muchas cosas fantásticas que puedes descubrir en divulgaMAT (Página de divulgación de la Real Sociedad Matemática española) es un conjunto de viñetas de Humor Gráfico que han aparecido en algunos medios de comunicación:

Prueba de Primavera

2010-09-22T12:57:00.000+02:00

Ejercicios del Concurso de Primavera: Números romanos, Cálculo, Divisibilidad, ...

2001, 2014, 2015, 2016, 2105, 2107, 2015, 2201

2316, 2317

2007, 2104, 2018, 2122, 2124

El resto con Calculadora

2010-09-22T12:00:00.004+02:00

La calculadora es una herramienta fabulosa y muy útil pero hay que saber utilizarla adecuadamente. Así que, aquí va un ejercicio para que lo hagas con calculadora.
Recuerda que Google también sirve para calcular. ( En el siguiente enlace tienes alguna ayuda para utilizar la calculadora de Google: ¡Ayuda! )

Ejercicio:

Obtén con la calculadora el resto de las siguientes divisiones:

23456 : 235
18964 : 123
4002 : 23
143782 : 19

Prueba del 9

2010-09-22T11:55:00.000+02:00

La prueba del 9 es una antigua práctica que realizaban los alumnos para "comprobar" las operaciones como las multiplicaciones y, sobretodo, las divisiones, antes de existir las calculadoras.
Su razonamiento tiene que ver con los criterios de divisibilidad por 9.
En clase explicaremos su funcionamiento con más detalle. Aquí tienes algunos enlaces interesantes sobre la prueba del 9:

http://members.fortunecity.com/rillmar/matematicas/algodeMate.html
http://eliatron.blogspot.com/2009/05/la-prueba-del-9.html

Ejercicios

En la entrada anterior del blog te pedíamos calcular la letra del NIF Calcula la letra del NIF de todos los miembros de tu familia que lo tengan. Como tuviste que hacer divisiones, comprueba mediante la prueba del 9 las divisiones que has realizado.

Realiza las siguientes divisiones y compruébalas mediante la prueba del 9:
1234567 : 234 y 8765234: 475

Si la prueba del 9 está nos da bien cuando comprobamos una operación, ¿podemos estar seguros de que la operación está bien?¿Por qué?

Letra del NIF

2010-09-22T11:50:00.003+02:00

El NIF (Número de Identificación Fiscal) está formado por un número de un máximo de 9 cifras (lo que realmente es el número de DNI) seguido de una letra.
El objetivo de la letra es hacer de "letra de control" y evitar errores.
Para el cálculo de la letra del NIF hay que hacer una división entre 23 y buscar el resto en la siguiente tabla:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
T	R	W	A	G	M	Y	F	P	D	X	B	N	J	Z	S	Q	V	H	L	C	K	E

Por ejemplo: para calcular la letra que le corresponde al número 16.111.111 haremos losiguiente:

1611111111 = 23 x 700483 + 2
Como el resto es 2 , buscamos la letra en la tabla y le corresponde la W

Ejercicios:

Calcula la letra del NIF de todos los miembros de tu familia que lo tengan y comprueba que obtienes el resultado correcto.

En la tabla anterior están sólo los números dese el 0 hasta el 22. ¿Por qué está exactamente estos números y no otros?

¡Atención!: Operaciones

2010-09-22T11:30:00.000+02:00

Cuando vamos a hacer operaciones combinadas siempre es interesante mirar y analizar antes de ponernos a hacer cuentas a lo loco.
Aquí tienes varios casos en que es mucho mejor aplicar la propiedad distributiva en vez de no aplicarla aunque parezca lo contrario:

Ejercicio:

Piensa antes de operar y decide si es mejor aplicar la propiedad distributiva o no para hacer las operaciones de manera eficiente. Efectúa todos los pasos detalladamente:

9 x (7 + 13) - 7 x 9 =
9 x (7 + 13) + 7 + 9 =
5 x (7 + 3) - 2 x 7 =
3 x (14 + 3) + 3 x 3 =
999 x (11 + 12) + 11 + 12=
3 x (9 + 11) + 5 x 20 =
45 x ( 13 + 21) + 4 x (13 + 21) + 13 + 21 =

Operaciones. Propiedades

2010-09-22T11:20:00.000+02:00

Hoja de ejercicios: Operaciones y propiedades (PDF)

En el enlace tienes una hoja de ejercicios para que practiques la importancia de las propiedades de las operaciones (en este caso las de la suma y la resta).
Tarea para la Semana de San Mateo (del 18/09/2010 al 26/09/2010).

Malditas Matemáticas

2010-09-20T23:52:00.002+02:00

Si te gustan las matemáticas o, si no te gustan demasiado pero te gusta leer, el siguiente libro es una propuesta muy interesante que te permitirá descubrir algunas cosas curiosas desde otro punto de vista. Varios de los capítulos tratan de aspectos que vamos a ver durante el curso.

- Puedes comprarlo, no es muy caro, o puedes sacarlo de la biblioteca del centro (hemos pedido varios ejemplares)

- Si tienes dificultdes para conseguirlo, habla con tu profesor.

Presentación

2010-09-16T21:55:00.007+02:00

Este blog contendrá documentos, hojas de ejercicios, referencias a curiosidades matemáticas, etc... relacionadas con las asignatura de Matemáticas.

Dificultad de las actividades:

Cuando aparezcan ejercicios o actividades procuraremos calificarlas del mismo modo que se hace en tu libro.

Actividad con mayor dificultad.

Actividad con cierta dificultad.

Actividad con menor dificultad. Todos debéis intentarla.

Ten en cuenta que la valoración de la dificultad es algo subjetivo y, por tanto, podría darse el caso que actividades calificadas como de menor dificultad te puedan resultar más complicadas o alrevés. Es. simplemente, algo orientativo que te debe llevar a intentar primero las de menor dificultad e ir subiendo poco a poco hasta donde tú puedas.

Prueba de Primavera:
Las entradas con este título harán referencia a ejercicios de la Prueba de Primavera de las Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas. Será siempre ejercicios de mayor dificultad.
En estas entradas aparecerá el logo de A'prima:

Si pulsas sobre él accederas a la página de entrada de la Prueba de Primavera. Si no tienes usuario y contraseña puedes entrar sin más que pulsar al botón Acceder.
Una vez dentro elige la opción del menú: · Practicar ejercicios seleccionados

Etiquetas:
Las entradas del blog tienen en su parte inferior una línea de Temas. En ella hay una o varias palabras que sirven para catalogarlas. Todas las entradas harán alusión a alguno de los temas del libro por lo menos, algunas de ellas podrán darnos información añadida: